2.3: La Función e^jθ y el Círculo de Unidad
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Tratemos de extender nuestras definiciones de la función\(e^x\) al argumento\(x=jΘ\). Entonces\(e^{jΘ}\) es la función
\[e^{jθ}=lim_{n→∞}(1+j\frac θ n)^n \nonumber \]
El número complejo\(1+j\frac θ n\) se ilustra en la Figura. El radio al punto\(1+j\frac θ n\) es\(r=(1+\frac {θ^2} {n^2})^{1/2}\) y el ángulo es\(φ=\tan^{−1}\frac θ n\)
Esto significa que el n º poder de\(1+j\frac θ n\) tiene radio\(r^n=(1+\frac {θ^2} {n^2})^{n/2}\) y ángulo\(nφ=n\;\tan^{−1}\frac θ n\) (Recordemos nuestro estudio de potencias de z.)
Por lo tanto, el número complejo\((1+j\frac θ n)^n\) puede escribirse como
\[(1+j\frac θ n)^n=(1+\frac {θ^2} {n^2})^{n/2}[\cos(n\;\tan^{−1}\frac θ n)+j\sin(n\tan^{−1}\frac θ n)] \nonumber \]
Para\(n\) grandes,\((1+\frac {θ^2} {n^2})^{n/2}2≅1\), y\(n\tan^{−1}\frac θ n≅n \frac θ n=θ\). Por lo tanto\((1+j\frac θ n)^n\) es aproximadamente
\[(1+j\frac θ n)^n=1(\cosθ+j\sinθ) \nonumber \]
Este hallazgo es consistente con nuestra definición anterior de\(e^{jθ}\)!
La expansión de la serie\(e^{jθ}\) se obtiene evaluando la fórmula de Taylor en\(x=jθ\):
\[e^{jθ}=∑_{n=0}^∞\frac 1 {n!}(jθ)n \nonumber \]
Cuando\(e^{jθ}\) se escribe esta expansión de serie para, tenemos la fórmula
\[e^{jθ}=∑^∞_{n=0}\frac 1 {(2n)!} (jθ)^{2n}+∑^∞_{n=0}\frac 1 {(2n+1)!}(jθ)^{2n+1} = ∑^∞_{n=0}\frac {(−1)^n} {(2n)!} θ^{2n}+j∑^∞_{n=0}\frac {(−1)^n}{(2n+1)!} θ^{2n+1} \nonumber \]
Ahora está claro que\(\cosθ\) y\(\sinθ\) tienen las expansiones de la serie
\[\cosθ=∑^∞_{n=0}\frac {(−1)^n} {(2n)!} θ^{2n} \nonumber \]
\[\sinθ=∑_{n=0}^∞\frac {(−1)^n} {(2n+1)!} θ^{2n+1} \nonumber \]
Cuando estas sumas infinitas se truncan en N−1, entonces decimos que tenemos aproximaciones de N-término para\(\cosθ\) y\(\sinθ\):
\[\cosθ≅∑^{N−1}_{n=0} \frac {(−1)^n} {(2n)!} θ^{2n} \nonumber \]
\[\sinθ≅∑_{n=0}^{N−1} \frac {(−1)^n} {(2n+1)!} θ^{2n+1} \nonumber \]
Las aproximaciones de diez términos\(\cosθ\) y\(\sinθ\) se trazan sobre expresiones exactas para\(\cosθ\) y\(\sinθ\) en la Figura. Las aproximaciones son muy buenas en un periodo\((0≤θ≤2π)\), pero divergen fuera de este intervalo. Para aproximaciones más precisas en un rango mayor de θ′s, necesitaríamos usar más términos. O, mejor aún, podríamos usar el hecho de que\(cosθ\) y\(sinθ\) son periódicos en θ. Entonces podríamos restar tantos múltiplos\(2π\) como necesitábamos de θ para llevar el resultado al rango\([0,2π]\) y usar las aproximaciones de diez términos en esta nueva variable. La nueva variable se llama θ-módulo\(2π\).
Escriba los primeros términos de las expansiones de la serie para\(\cosθ\) y\(\sinθ\).
Demostración 2.1 (MATLAB)
Cree un archivo MATLAB que contenga el siguiente programa de demostración de MATLAB que calcula y traza dos ciclos de\(\cosθ\) y\(\sinθ\) versus θ. Se debe observar Figura. Obsérvese que dos ciclos toman\(2(2π)\) radianes, que es aproximadamente 12 radianes.
clg;
j = sqrt (-1);
theta = 0:2 *pi/ 50:4 *pi;
s = sin (theta);
c = cos (theta);
parcela (theta, s);
elabel ('theta en radianes');
ylabel ('seno y coseno');
mantener la
trama (theta, c);
retener
(MATLAB) Escribe un programa MATLAB para calcular y trazar las aproximaciones de diez términos a\(\cosθ\) y\(\sinθ\) para θ ejecutándose de 0 a\(2(2π)\) en pasos de\(2π/50\). Calcular y sobretrazar expresiones exactas para\(\cosθ\) y\(\sinθ\). Se debe observar un resultado como la Figura.
El círculo de unidades
El círculo unitario se define como el conjunto de todos los números complejos z cuyas magnitudes son 1. Esto significa que todos los números en el círculo unitario pueden escribirse como\(z=e^{jθ}\). Decimos que el círculo unitario consiste en todos los números generados por la función\(z=e^{jθ}\) ya que θ varía de 0 a\(2π\). Ver abajo Figura.
Una simetría fundamental
Consideremos los dos números complejos\(z_1\) y\(\frac 1 {z^∗_1}\), ilustrados en la Figura. Llamamos\(\frac 1 {z^∗_1}\) al “reflejo de z a través del círculo unitario” (y viceversa). Tenga en cuenta que\(z_1=r_1e^{jθ_1}\) y\(\frac 1 {z^∗_1} = \frac 1 {r_1e^{jθ_1}}\). Los números complejos\(z_1−e^{jθ}\) y\(\frac 1 {z^*_1} −e^{jθ}\) se ilustran en la Figura a continuación. La magnitud al cuadrado de cada uno es
\[|z_1−e^{jθ}|^2=(z_1−e^{jθ})(z^∗_1−e^{−jθ}) \nonumber \]
\[|\frac 1 {z^*_1} −e^{jθ}|^2=(\frac 1 {z^*_1−e^{jθ}})(\frac 1 {z_1} −e^{−jθ}) \nonumber \]
La relación de estas magnitudes al cuadrado es
\[β^2=\frac {(z_1−e^{jθ})(z^∗_1−e^{−jθ})} {(\frac 1 {z^*_1}−e^{jθ})(\frac 1 {z_1} −e^{−jθ})} \nonumber \]
Esta relación puede ser manipulada para mostrar que es independiente de θ, lo que significa que los puntos\(z_1\) y\(\frac 1 {z^∗_1}\) mantienen una distancia relativa constante desde cada punto en el círculo unitario:
\[β^2=\frac {e^{jθ}(e^{−jθ}z_1−1)(z^∗_1e^{jθ}−1)e^{−jθ}} {\frac {1} {zi} (1−e^{jθ}z^∗_1)(1−z_1e^{−jθ}) \frac 1 z_1} = |z_1|^2 \;,\;\mathrm{independent} \;\mathrm{of}\;θ! \nonumber \]
Este resultado será de suma importancia para usted cuando estudie el filtrado digital, el diseño de antenas y la teoría de la comunicación.
Escribe el número complejo\(z−e^{jθ}\) como\(re^{jφ}\). ¿Qué son\(r\) y\(φ\)?